Cantidad Económica de Pedido (EOQ)
EOQ es la cantidad de pedido de reposición que minimiza los costos totales de inventario. El pedido de compra se activa cuando el nivel de inventario alcanza el punto de reorden. El EOQ se calcula para minimizar una combinación de costos como el costo de compra (que puede incluir descuentos por volumen), el costo de mantenimiento de inventario, el costo de pedido, etc. La optimización de la cantidad de pedido es complementaria a la optimización de las existencias de seguridad que se centra en encontrar el umbral óptimo para activar el reordenamiento.
Modelo y fórmula
La fórmula clásica de EOQ (ver la Fórmula de Wilson a continuación) es esencialmente un compromiso entre el costo de pedido, que se asume como una tarifa fija por pedido, y el costo de mantenimiento de inventario. Aunque esta fórmula, que data de 1913, es muy conocida, recomendamos no utilizar dicha fórmula en ningún entorno de cadena de suministro moderno. Las suposiciones matemáticas subyacentes detrás de esta fórmula son simplemente incorrectas en la actualidad.
La fórmula histórica asume que el costo del acto de realizar un pedido es el principal impulsor del negocio. Ciertamente, fue un factor importante en 1913 cuando se requería un ejército de empleados para llevar manualmente los libros, pero con el software de gestión de inventario y posiblemente EDI, este factor suele ser insignificante. Como resultado, la “optimización” realizada por la fórmula carece de sentido y pasa por alto cualquier descuento de precio que pueda estar disponible al ordenar cantidades mayores.
Descargar hoja de cálculo de Excel: eoq-calculator.xlsm (cálculo ilustrado)
Por lo tanto, aquí proponemos una variante de la fórmula EOQ que optimiza el compromiso entre los costos de mantenimiento y los descuentos por volumen. Introduzcamos las variables:
- $${Z}$$ sea la demanda principal.
- $${H}$$ sea el costo de mantenimiento por unidad durante el tiempo de entrega (1).
- $$\delta$$ sea la cantidad de inventario necesaria para alcanzar el punto de reorden (2).
- $${P}$$ sea el precio de compra por unidad, una función que depende de la cantidad de pedido q.
(1) El alcance temporal considerado aquí es el tiempo de entrega. Por lo tanto, en lugar de considerar el costo de mantenimiento anual más común $$H_y$$, estamos considerando $$H = \frac{d}{365}H_y$$ asumiendo que $$d$$ es el tiempo de entrega expresado en días.
(2) La cantidad delta debe tener en cuenta tanto el stock en mano $$q_{hand}$$ como el stock en pedido $$q_{order}$$, lo que da la relación $$\delta = R - q_{hand} - q_{order}$$ donde $$R$$ es el punto de reorden. Intuitivamente, $$\delta+1$$ es la cantidad mínima que se debe pedir para mantener el nivel de servicio deseado.
A pesar de su apariencia aparentemente complicada, esta función se puede calcular fácilmente con Microsoft Excel, como se ilustra en la hoja proporcionada anteriormente.
¿Qué pasa con el costo de pedido?
A primera vista, podría parecer que estamos asumiendo un costo de pedido cero, pero no es del todo así. De hecho, el marco que presentamos aquí es relativamente flexible y el costo de pedido (si lo hay) se puede incorporar en la función de precio $$\mathcal{P}$$.
Función de costo
Para modelar la función de costo para la cantidad de pedido que tiene en cuenta los descuentos por volumen, introduzcamos $${R}$$ el punto de reorden. El costo de inventario es la suma del costo de mantenimiento de inventario más el costo de compra, es decir,
De hecho, tomando un punto de vista amortizado durante el período de tiempo de entrega, la cantidad total a pedir será $${Z}$$ la demanda de tiempo de entrega.
Entonces, el nivel de inventario varía todo el tiempo, pero si consideramos reordenamientos estrictamente mínimos (es decir, $${q=δ+1}$$), entonces el nivel promedio de inventario a lo largo del tiempo es igual a $${R}$$ el punto de reorden. Entonces, dado que estamos considerando precisamente una cantidad de pedido mayor que $${δ+1}$$, esas cantidades adicionales pedidas están desplazando hacia arriba el nivel promedio de inventario (y también posponiendo el momento en que se alcanzará el próximo punto de reorden).
El $${(q−δ−1)/2}$$ representa el desplazamiento del inventario causado por el reordenamiento asumiendo que la demanda de tiempo de entrega se distribuye uniformemente durante la duración del tiempo de entrega. El factor $${1/2}$$ está justificado porque una cantidad de pedido aumentada de $${N}$$ solo aumenta el nivel promedio de inventario en $${N/2}$$.
Minimización de la función de costo
Para minimizar $${C(q)}$$, podemos comenzar aislando la parte que no depende de $${q}$$ con:
Dado que $${RH}$$ no depende de $${q}$$, optimizar $${C(q)}$$ es lo mismo que optimizar $${C∗(q)}$$ donde:
Entonces, en este contexto, dado que la función de descuento por volumen $$\mathcal{P}$$ es una función arbitraria, no hay una solución algebraica directa para minimizar esta fórmula. Sin embargo, esto no implica que esta minimización sea difícil de resolver tampoco.
Una minimización simple para $${C^∗(q)}$$ consiste en una (ingenua) exploración numérica extensiva, es decir, calcular la función para un amplio rango de valores de $${q}$$. De hecho, prácticamente ningún negocio necesita cantidades de pedido mayores a 1,000,000 unidades, y dejar que una computadora explore todos los valores de costos para $${q=1..1,000,000}$$ toma menos de 1 segundo incluso si el cálculo se realiza dentro de Excel en una computadora de escritorio regular.
Sin embargo, en la práctica, este cálculo puede acelerarse enormemente si asumimos que $$\mathcal{P}(q)$$ es una función estrictamente decreciente, es decir, que el precio por unidad disminuye estrictamente cuando aumenta la cantidad del pedido. De hecho, si $$\mathcal{P}(q)$$ disminuye, entonces podemos comenzar la exploración de valores en $${q=δ+1}$$, iterar y finalmente detenernos cuando se encuentre la situación $${C^∗(q+1)>C^∗(q)}$$.
En la práctica, el precio unitario rara vez aumenta con las cantidades, sin embargo, se pueden observar algunas irregularidades locales en la curva si los envíos se optimizan para paletas u otro tipo de contenedor que favorezca ciertos tamaños de paquete.
Fórmula de Wilson
La fórmula EOQ más conocida es la Fórmula de Wilson desarrollada en 1913. Esta fórmula se basa en las siguientes suposiciones:
- El costo de pedido es fijo.
- La tasa de demanda es conocida y se distribuye uniformemente a lo largo del año.
- El tiempo de entrega es fijo.
- El precio unitario de compra es constante, es decir, no hay descuento disponible.
Introduzcamos las siguientes variables:
- $${D_y}$$ es la cantidad de demanda anual
- $${S}$$ es el costo fijo por pedido (no es un costo por unidad, sino el costo asociado a la operación de pedido y envío).
- $${H_y}$$ es el costo de mantenimiento anual
Bajo esas suposiciones, el EOQ óptimo de Wilson es:
En la práctica, sugerimos utilizar una variante más ajustada localmente (en términos de tiempo) de esta fórmula, donde $${D_y}$$ se reemplaza por $${D}$$, la tasa de demanda pronosticada para la duración del tiempo de entrega (también conocida como demanda de plomo $${Z}$$ dividida por el tiempo de entrega), y donde $${H_y}$$ se reemplaza por $${H}$$, el costo de mantenimiento para la duración del tiempo de entrega.
Comparación de las dos fórmulas EOQ
Para minoristas o mayoristas, creemos que nuestra fórmula EOQ ad hoc presentada en la parte superior de esta página, que enfatiza los descuentos por volumen, es más adecuada y, por lo tanto, más rentable que la fórmula de Wilson. Para los fabricantes, depende. En particular, si el pedido desencadena una nueva producción, entonces es posible que haya un costo de pedido significativo (configuración de producción) y poco o ningún beneficio en el costo marginal por unidad posteriormente. En tal situación, la fórmula de Wilson es más apropiada.