Economic Order Quantity (EOQ)

Von Joannes Vermorel, Januar 2012

EOQ ist die Bestellmenge zur Auffüllung, die die Gesamtkosten des Bestands minimiert. Die Bestellung wird ausgelöst, wenn der Lagerbestand den Nachbestellpunkt erreicht. Die EOQ wird berechnet, um eine Kombination von Kosten wie den Einkaufspreis (der Mengenrabatte enthalten kann), die Lagerhaltungskosten, die Bestellkosten usw. zu minimieren. Die Optimierung der Bestellmenge ergänzt die Optimierung des Sicherheitsbestands, bei der der optimale Schwellenwert zum Auslösen der Nachbestellung ermittelt wird.

Update Juli 2020: Die EOQ ist eine ziemlich veraltete Perspektive, die tief in einer stationären Perspektive verwurzelt ist, in der die zukünftige Nachfrage nicht nur perfekt bekannt, sondern auch konstant ist. Die in den folgenden Formeln angegebenen Werte mögen zwar “lehrbuchmäßig” sein, aber die zugrunde liegende Perspektive ist von vornherein fehlerhaft. Eine probabilistische Nachfrageprognose in Verbindung mit der Bewertung des marginalen wirtschaftlichen Beitrags jeder zusätzlichen Einheit Lagerbestand ist ein viel besserer Ansatz. Wir empfehlen nicht mehr, das Konzept der EOQ zu verwenden.

Modell und Formel

Die klassische EOQ-Formel (siehe Wilson-Formel unten) ist im Wesentlichen ein Kompromiss zwischen den Bestellkosten, die als Pauschalbetrag pro Bestellung angenommen werden, und den Lagerhaltungskosten. Obwohl diese Formel aus dem Jahr 1913 extrem bekannt ist, raten wir davon ab, eine solche Formel in einer modernen Lieferkettenumgebung zu verwenden. Die mathematischen Annahmen hinter dieser Formel sind heutzutage einfach falsch.

Die historische Formel geht davon aus, dass die Kosten für den Bestellvorgang der entscheidende Geschäftsfaktor sind. Dies war sicherlich ein wichtiger Faktor im Jahr 1913, als eine Armee von Angestellten erforderlich war, um die Bücher manuell zu führen. Mit Bestandsmanagement Software und möglicherweise EDI ist dieser Faktor jedoch in der Regel unbedeutend. Das Ergebnis ist, dass die durch die Formel durchgeführte “Optimierung” wenig Sinn ergibt und jegliche Preisnachlässe ignoriert, die bei größeren Mengen verfügbar sein können.

Excel-Tabelle herunterladen: eoq-calculator.xlsm (illustrierte Berechnung)

Daher schlagen wir hier eine Variante der EOQ-Formel vor, die den Kosten-Nutzen-Ausgleich zwischen den Lagerhaltungskosten und den Mengenrabatten optimiert. Führen wir die Variablen ein:

$${Z}$$ sei die prognostizierte Nachfrage.
$${H}$$ seien die Lagerhaltungskosten pro Einheit für die Dauer der Durchlaufzeit (1).
$$\delta$$ sei die Delta-Bestandsmenge, die benötigt wird, um den Nachbestellpunkt zu erreichen (2).
$${P}$$ sei der Stückpreis, eine Funktion, die von der Bestellmenge q abhängt.

(1) Der hier betrachtete Zeitraum ist die Durchlaufzeit. Anstatt die üblicherweise verwendeten jährlichen Lagerhaltungskosten $$H_y$$ zu berücksichtigen, betrachten wir $$H = \frac{d}{365}H_y$$, wobei $$d$$ die Durchlaufzeit in Tagen ist.

(2) Die Delta-Menge muss sowohl den Lagerbestand $$q_{hand}$$ als auch den Bestand in Auftrag $$q_{order}$$ berücksichtigen, was die Beziehung $$\delta = R - q_{hand} - q_{order}$$ ergibt, wobei $$R$$ der Nachbestellpunkt ist. Intuitiv ist $$\delta+1$$ die minimale Menge, die bestellt werden muss, um das gewünschte Service-Level aufrechtzuerhalten.

$$Q = \underset{q=\delta+1..\infty}{\operatorname{argmin}}\left(\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)\right)$$

Obwohl diese Funktion auf den ersten Blick kompliziert aussieht, kann sie leicht mit Microsoft Excel berechnet werden, wie in der oben bereitgestellten Tabelle veranschaulicht.

Was ist mit den Bestellkosten?

Auf den ersten Blick könnte man denken, dass wir von keinen Bestellkosten ausgehen, aber das ist nicht ganz richtig. Tatsächlich ist der hier eingeführte Rahmen relativ flexibel und die Bestellkosten (falls vorhanden) können in die Preisfunktion $$\mathcal{P}$$ eingebettet werden.

Kostenfunktion

Um die Kostenfunktion für die Bestellmenge zu modellieren, die Mengenrabatte berücksichtigt, führen wir $${R}$$ den Nachbestellpunkt ein. Die Lagerhaltungskosten setzen sich aus den Lagerhaltungskosten plus den Einkaufskosten zusammen, das heißt

$$C(q)=\left(R+\frac{q-\delta-1}{2}\right)H+Z\mathcal{P}(q)$$

Tatsächlich wird die Gesamtmenge, die bestellt werden muss, $${Z}$$ der prognostizierten Nachfrage über die Durchlaufzeit betrachtet.

Dann variiert der Lagerbestand ständig, aber wenn wir strikte Mindestnachbestellungen berücksichtigen (d.h. $${q=δ+1}$$), dann ist der durchschnittliche Lagerbestand im Laufe der Zeit gleich dem Nachbestellpunkt $${R}$$. Da wir jedoch Bestellmengen größer als $${δ+1}$$ genau betrachten, verschieben diese zusätzlich bestellten Mengen das durchschnittliche Lagerbestandsniveau nach oben (und verschieben auch den Zeitpunkt, an dem der nächste Nachbestellpunkt erreicht wird).

Der Ausdruck $${(q−δ−1)/2}$$ repräsentiert die Verschiebung des Lagerbestands, die durch die Nachbestellung verursacht wird, unter der Annahme, dass die prognostizierte Nachfrage gleichmäßig über die Durchlaufzeit verteilt ist. Der Faktor $${1/2}$$ ist gerechtfertigt, da eine erhöhte Bestellmenge von $${N}$$ nur das durchschnittliche Lagerbestandsniveau um $${N/2}$$ erhöht.

Minimierung der Kostenfunktion

Um $${C(q)}$$ zu minimieren, können wir damit beginnen, den Teil zu isolieren, der nicht von $${q}$$ abhängt, mit:

$$C(q)=\left(R+\frac{q-\delta-1}{2}\right)H+Z\mathcal{P}(q)$$

Da $${RH}$$ nicht von $${q}$$ abhängt, ist die Optimierung von $${C(q)}$$ dasselbe wie die Optimierung von $${C^*(q)}$$, wobei:

$$C^*(q)=\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$

In diesem Kontext gibt es jedoch keine direkte algebraische Lösung, um diese Formel zu minimieren, da die Volumenrabattfunktion $$\mathcal{P}$$ eine beliebige Funktion ist. Das bedeutet jedoch nicht, dass diese Minimierung schwer zu lösen ist.

Eine einfache Minimierung für $${C^∗(q)}$$ besteht aus einer (naiven) umfangreichen numerischen Exploration, bei der die Funktion für einen großen Bereich von $${q}$$-Werten berechnet wird. Tatsächlich benötigt kein Unternehmen Bestellmengen von mehr als 1.000.000 Einheiten, und wenn ein Computer alle Kostenwerte für $${q=1..1,000,000}$$ erkundet, dauert dies weniger als 1 Sekunde, selbst wenn die Berechnung in Excel auf einem normalen Desktop-Computer durchgeführt wird.

In der Praxis kann diese Berechnung jedoch erheblich beschleunigt werden, wenn wir davon ausgehen, dass $$\mathcal{P}(q)$$ eine streng abnehmende Funktion ist, das heißt, der Preis pro Einheit nimmt streng ab, wenn die Bestellmenge zunimmt. Wenn $$\mathcal{P}(q)$$ abnimmt, können wir die Wertexploration bei $${q=δ+1}$$ beginnen, iterieren und schließlich anhalten, wenn die Situation $${C^∗(q+1)>C^∗(q)}$$ auftritt.

In der Praxis steigt der Stückpreis selten mit der Menge, dennoch können einige lokale Erhöhungen in der Kurve beobachtet werden, wenn Sendungen für Paletten oder andere Behälter optimiert werden, die bestimmte Packungsgrößen begünstigen.

In der oben angehängten Excel-Tabelle nehmen wir an, dass der Stückpreis mit der Menge streng abnimmt. Wenn dies nicht der Fall ist, bearbeiten Sie die Makrofunktion EoqVD(), um zu einer naiven Bereichsexploration zurückzukehren.

Wilson-Formel

Die bekannteste EOQ-Formel ist die Wilson-Formel, die 1913 entwickelt wurde. Diese Formel basiert auf den folgenden Annahmen:

Die Bestellkosten sind konstant.
Die Nachfragerate ist bekannt und gleichmäßig über das Jahr verteilt.
Die Durchlaufzeit ist festgelegt.
Der Einheitspreis für den Einkauf ist konstant, d.h. es gibt keinen Rabatt.

Führen wir die folgenden Variablen ein:

$${D_y}$$ sei die jährliche Nachfragemenge
$${S}$$ seien die festen konstanten Bestellkosten (keine Kosten pro Einheit, sondern Kosten, die mit der Bestellung und dem Versand verbunden sind).
$${H_y}$$ seien die jährlichen Lagerhaltungskosten

Unter diesen Annahmen ist die optimale EOQ nach Wilson:

$$Q=\sqrt{\frac{2D_yS}{H_y}}$$

In der Praxis empfehlen wir die Verwendung einer zeitlich angepassten Variante dieser Formel, bei der $${D_y}$$ durch $${D}$$ ersetzt wird, die prognostizierte Nachfragegeschwindigkeit für die Dauer der Durchlaufzeit (auch als Durchlaufnachfrage $${Z}$$ geteilt durch die Durchlaufzeit) und bei der $${H_y}$$ durch $${H}$$ ersetzt wird, die Lagerkosten für die Dauer der Durchlaufzeit.

Vergleich der beiden EOQ-Formeln

Für den Einzelhandel oder Großhandel sind wir der Meinung, dass unsere ad-hoc EOQ-Formel, die oben auf dieser Seite vorgestellt wird und Volumenrabatte betont, besser geeignet ist und daher profitabler ist als die Wilson-Formel. Für Hersteller hängt es ab. Insbesondere wenn die Bestellung eine neue Produktion auslöst, kann es tatsächlich signifikante Bestellkosten (Produktionseinrichtung) geben und wenig oder keine Vorteile in Bezug auf die Grenzkosten pro Einheit. In einer solchen Situation ist die Wilson-Formel angemessener.